Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由時(shí)，得出，則，再求導(dǎo)，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)在上的最小值； （2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，使得，得，即，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解求的取值范圍；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意成立，令，所以，可得出的單調(diào)性，求解出的最小值，即可的取值范圍．

試題解析：（1）時(shí)，，，

，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

又函數(shù)的值域?yàn)镽，

故，使得，

又，，所以當(dāng)時(shí)，，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以

（2），

由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，使得

進(jìn)而函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增，

，

由得：，

，，

因?yàn)?/span>，不等式恒成立，

（另解：因?yàn)?/span>，不等式恒成立，

即

由，

當(dāng)時(shí)取等號(hào)，）

（3）由，，

，對(duì)任意成立，

令函數(shù)，所以，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，