【題目】在四棱錐中中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連接，由是等邊三角形可得，再由底面為直角梯形，結(jié)合已知的邊長(zhǎng)可證得，于是得平面，從而證得結(jié)果；

（2）由條件可得可知兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以．

因?yàn)樵谥苯翘菪?/span>中，，，，所以

所以為等腰三角形，所以

因?yàn)?/span>，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）解：因?yàn)?/span>，，為正三角形的邊上的高，所以．

因?yàn)?/span>，所以，由（1）可知兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，

則，，

設(shè)平面的法向量為

則,即令得．

設(shè)平面的法向量為

則,即令，則

因?yàn)槎娼?/span>為銳二面角，所以其余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在脫貧攻堅(jiān)中，某市教育局定點(diǎn)幫扶前進(jìn)村戶貧困戶.駐村工作隊(duì)對(duì)這戶村民的貧困程度以及家庭平均受教育程度進(jìn)行了調(diào)査，并將該村貧困戶按貧困程度分為“絕對(duì)貧困戶”與“相對(duì)貧困戶”，同時(shí)按家庭平均受教育程度分為“家庭平均受教育年限年”與“家庭平均受教育年限年”，具體調(diào)査結(jié)果如下表所示：

平均受教育年限年

平均受教育年限年

總計(jì)

絕對(duì)貧困戶

10

40

50

相對(duì)貧困戶

20

30

50

總計(jì)

30

70

100

（1）為了參加扶貧辦公室舉辦的貧困戶“談心談話”活動(dòng)，現(xiàn)通過分層抽樣從“家庭平均受教育年限年”的戶貧困戶中任意抽取戶，再從所抽取的戶中隨機(jī)抽取戶參加“談心談話”活動(dòng)，求至少有戶是絕對(duì)貧困戶的概率；

（2）根據(jù)上述表格判斷：是否有的把握認(rèn)為貧困程度與家庭平均受教育程度有關(guān)？

參考公式：

參考數(shù)據(jù)：

0.050

0.010

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過橢圓的左頂點(diǎn)作斜率為2的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，已知.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，若軸上存在一定點(diǎn)，使得，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，四邊形是菱形， ， ，且， 交于點(diǎn)， 是上任意一點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知真命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)是奇函數(shù)”．

（Ⅰ）將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,求此時(shí)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);

（Ⅱ）求函數(shù)圖象對(duì)稱中心的坐標(biāo);

（Ⅲ）已知命題:“函數(shù)的圖象關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖象”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)和,使得函數(shù)是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題,請(qǐng)給予證明;如果是假命題,請(qǐng)說明理由,并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改,使之成為真命題（不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截的弦長(zhǎng)為．

（1）求橢圓的方程；

（2）記橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．若線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中m為常數(shù)，且是函數(shù)的極值點(diǎn)．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅰ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，E為側(cè)棱PB上一點(diǎn)且，在內(nèi)（包括邊界）任意取一點(diǎn)F，則的取值范圍為__________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求f(x)的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求a的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，.求證：.

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