Question

已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，a₁=b₁=1且a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=2a_nb_n²，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）∵已知等{a_n}為差數(shù)列、{b_n}為等比數(shù)列，及兩個數(shù)列的首項，及a₃+a₅+a₇=9，由等差數(shù)列的性質不難求出a₅的值，進一步求出{a_n}的通項公式，再根據(jù)a₇是b₃和b₇的等比中項，也可求出b₅的值，進一步求出{b_n}的通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結論易給出數(shù)列{c_n}的通項公式，再利用錯位相減法，便可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由題意知：a₃+a₅+a₇=9，
∴3

a

5

=9，∴a5=3，d=

a5-a1

4

=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)d=

n+1

2

(n∈N+)
a₇=4，∵a₇²=b₃•b₇=16，∴b₅²=b₃•b₇=16，∵b₅∈N₊，
∴b5=4，∴q4=

b5

b1

=4，∵q∈R+，∴q=

2

，
∴bn=b1•qn-1=2

n-1

2

(n∈N+)
（II）因為c_n=2a_n•b_n²=（n+1）•2^n-1
所以T_n=c₁+c₂++c_n=2+3•2+4•2²+…+（n+1）•2^n-1．（1）
2T_n=2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ．（2）
由（1）減（2），
得-Tn=2+2+22++2n-1-(n+1)•2n=1+

2n-1

2-1

-(n+1)•2n=-n•2n，
∴T_n=n•2ⁿ

點評：等差數(shù)列性質a_n=a_m+（n-m）d，a_m+a_n=a_p+a_q?p+q=m+n，（m，n，p，q∈N*）
等比數(shù)列性質a_n=a_mq^n-m，a_m•a_n=a_p•a_q?p+q=m+n，（m，n，p，q∈N*）是常用公式，注意應用．