Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsinx+cos²x-sin²x．
（1）求f（x）的最大值，并求出此時(shí)x的值；
（2）寫出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）利用正弦函數(shù)的最值性質(zhì)可得f（x）的最大值，由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求出此時(shí)x的值；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：f（x）=2cosxsinx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）．
（1）由2x+

π

4

=2kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=kπ+

π

8

（k∈Z），f（x）_max=

2

；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
則kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．