Question

如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e=,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點, =4.

(1)求該橢圓的標準方程;

(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′,過P、P′作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.求△PP′Q的面積S的最大值,并寫出對應的圓Q的標準方程.

Answer 1

解:(1)由題意知點A(-c,2)在橢圓上,則+=1,從而e2+=1,

又e=,故b2==8,從而a2==16.

故該橢圓的標準方程為+=1.

(2)由橢圓的對稱性,可設Q(x0,0).又設M(x,y)是橢圓上任意一點,則|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×（1-）=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).

設P(x1,y1),由題意知,P是橢圓上到Q的距離最小的點,

因此,當x=x1時|QM|2取最小值,

又x1∈(-4,4),所以當x=2x0時|QM|2取最小值,

從而x1=2x0,且|QP|2=8-.

由對稱性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,

所以S=|2y1||x1-x0|

=×2|x0|

=

=·.

當x0=±時,△PP′Q的面積S取得最大值2.

此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±,0),半徑|QP|==,

因此,這樣的圓有兩個,其標準方程分別為(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.