Question

已知等差數(shù)列{a_n}公差不為零，前n項(xiàng)和為S_n，且a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，S₅=3a₄+4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足bn=an•(

1

3

)n，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題中的關(guān)系，建立首項(xiàng)a₁與公差d的方程組，解之得a₁=1，d=2，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法，求出數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S₅=3a₄+4，
∴5a₁+10d=3（a₁+3d）+4…①（2分）
∵a₁、a₂、a₅成等比數(shù)列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②（4分）
聯(lián)解①、②并結(jié)合公差d≠0，得a₁=1，d=2．
∴a₁=1+2（n-1）=2n-1．…（6分）
（II）bn=an•(

1

3

)n=（2n-1）•(

1

3

)n，
∴T_n=1•

1

3

+3•(

1

3

)2+…+（2n-1）•(

1

3

)n，
∴

1

3

T_n=1•(

1

3

)2+…+（2n-3）•(

1

3

)n+（2n+1）•(

1

3

)n+1
兩式相減，整理可得T_n=

3n-n-1

3n

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差數(shù)列滿足的關(guān)系式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式并求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式和錯(cuò)位相減法求和方法等知識(shí)，屬于中檔題．