Question

設正項等比數列{a_n}的首項a₁=

1

2

，前n項和為S_n，且2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0．
（1）求{a_n}的通項；
（2）令b_n=

1

(n+1)log 1 2 an

，記{b_n}的前n項和為T_n，求滿足不等式T_n＞

11

12

的n的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數列的性質,數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知，結合等比數列的求和公式可求公比q，然后可求通項
（2）利用裂項法求和，即可得出結論．

解答： 解：（1）當q=1時，2¹⁰•30a₁-（2¹⁰+1）20a₁+10a₁=0．
a₁=0與已知矛盾
∴q≠1
由2¹⁰•S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0
可得q=±

1

2

又∵a_n＞0，q＞0且q≠1
∴q=

1

2

，
∴a_n=（

1

2

）ⁿ；
（2）b_n=

1

(n+1)log 1 2 an

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴T_n=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
∴

n

n+1

＞

11

12

，
∴n＞11．

點評：本題主要考查了等比數列的求和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．