Question

已知直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1有A、B兩個不同的交點．
（1）如果以AB為直徑的圓恰好過原點O，試求k的值；
（2）是否存在k，使得兩個不同的交點A、B關(guān)于直線y=2x對稱？試述理由．

Answer 1

分析：（1）因為以AB為直徑的圓恰好過原點O，所以AO⊥BO，把直線y=kx+1代入雙曲線3x²-y²=1，利用向量垂直的充要條件去解．即可求出k的值．
（2）先假設存在k，使得兩個不同的交點A、B關(guān)于直線y=2x對稱，根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱的方法，找到關(guān)于k的方程，解k，若能解出，則存在，如解不出，則不存在．

解答：解：（1）設A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），則以AB為直徑的圓恰好過原點O的充要條件是AO⊥BO，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0…①
由

y=kx+1 3x2-y2=1

消去y得   （3-k²）x²-2kx-2=0…②∴

x1+x2= 2k 3-k2 x1x2=- 2 3-k2

將其代入①得

-2(k2+1)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，解得k=1或k=-1．
當k=1時，方程②為2x²-2x-2=0，有兩個不等實根；
當k=-1時，方程②為x²+x-1=0，有兩個不等實根．
故當k=1或k=-1時，以AB為直徑的圓恰好過原點O．
（2）若A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1）關(guān)于直線y=2x對稱，
則

k=- 1 2 (kx1+1)+(kx2+1)=2(x1+x2)

將④整理得（k-2）（x₁+x₂）+2=0．
因為x1+x2=

2k

2-k2

，所以

2k(k-2)

3-k2

+2=0，解之，得k=

3

2

．這個結(jié)果與③矛盾．
故不存在這樣的k，使兩點A、B關(guān)于直線y=2x對稱．

點評：本題考查了圓與雙曲線得位置關(guān)系，以及存在性問題，有一定的難度．