Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），將y=f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)的圖象與圖象變化

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換規(guī)律求得函數(shù)g（x）的解析式．根據(jù)y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1利用基本不等式求得u的最大值為

1

4

，再由F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數(shù)，求得函數(shù)y=F（x）的最大值．

解答： 解：將函數(shù)f（x）=log₂（x+1）的圖象向左平移1個(gè)單位，可得函數(shù)y=log₂（x+2）的圖象，
再將圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2log₂（x+2）的圖象，
故函數(shù)g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．
函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-2log₂（x+2）=log₂

x+1

(x+2)2

，且x＞-1
令u（x）=

x+1

(x+2)2

，x＞-1
令t=x+1，則u=

1

t+ 1 t +2

≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，即u=

1

4

時(shí)，函數(shù)y=F（x）=log₂u取得最大值為-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換，基本不等式的應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．