Question

【題目】設(shè)f（x）=|3x﹣2|+|x﹣2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤8；
（Ⅱ）對任意的非零實(shí)數(shù)x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)x≤ 時(shí)，原不等式可化為﹣（3x﹣2）﹣（x﹣2）≤8，解得x≥﹣1，故此時(shí)﹣1≤x≤ ；

當(dāng) ＜x≤2時(shí)，原不等式可化為3x﹣2﹣（x﹣2）≤8，解得x≤4，故此時(shí) ＜x≤2；

當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為3x﹣2+x﹣2≤8，即x≤3，故此時(shí)2＜x≤3．

綜上可得，原不等式的解集為{x|﹣1≤x≤3}．

（Ⅱ）對任意的非零實(shí)數(shù)x，有f（x）≥（m2﹣m+2）|x|恒成立，

則不等式可化為：m2﹣m+2≤|3﹣ |+|1﹣ |恒成立．

因?yàn)閨3﹣ |+|1﹣ |≥|3﹣ + ﹣1|=2，

所以要使原式恒成立，只需m2﹣m+2≤2即可，即m2﹣m≤0．

解得0≤m≤1．

【解析】（Ⅰ）分情況將原不等式絕對值符號去掉，然后求解；（Ⅱ）兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號．