Question

如圖，四棱錐中，底面，四邊形中，，，，.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)設(shè)．

(ⅰ) 若直線與平面所成的角為，求線段的長(zhǎng)；

(ⅱ) 在線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等？說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ，不存在點(diǎn).

【解析】

試題分析：(Ⅰ)先證明線面垂直平面,再證明面面垂直平面⊥平面；(Ⅱ)先建立直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為，利用兩向量垂直，，列表達(dá)式，求出法向量，再由直線與平面所成的角為，得出法向量中的參量；先設(shè)存在點(diǎn)，找出的坐標(biāo)，利用距離相等，列出表達(dá)式，看方程是否有根來判斷是否存在點(diǎn).

試題解析：解法一：

(Ⅰ)證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044290295944994_DA.files/image013.png">平面，平面，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.                 3分

(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)．

在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，則.

在中，，

.

設(shè)， 則，．

由得，

所以，，，

，．                 5分

(ⅰ)設(shè)平面的法向量為．

由，，得

取，得平面的一個(gè)法向量．

又，故由直線與平面所成的角為得

，即.

解得或 (舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044290295944994_DA.files/image047.png">)，所以.           7分

(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．

設(shè) (其中)．

則，，

．

由，得，

即；①

由，得.  ②

由①、②消去，化簡(jiǎn)得. ③

由于方程③沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．

從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，

使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．              12分

解法二：

(Ⅰ)同解法一：

(Ⅱ)(ⅰ)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 (如圖)．

在平面內(nèi)，作交于點(diǎn)，

則，

在中，

，

.

設(shè)，則，．

由得.

所以，，，

，．                 5分

設(shè)平面的法向量為．

由，，得

取，得平面的一個(gè)法向量．

又，故由直線與平面所成的角為得

，即.

解得或 (舍去，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013091700433083696934/SYS201309170044290295944994_DA.files/image047.png">)，所以.           7分

(ⅱ)假設(shè)在線段上存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等．

由 ，得，

從而，即，

所以.

設(shè)，則，.

在中，

，這與矛盾．

所以在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離都相等．

從而，在線段上不存在一個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定；2.面面垂直的判定；3.向量垂直的應(yīng)用；4.線面角公式.