Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)F交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)．
（1）若|AB|=8，求直線(xiàn)l的斜率
（2）若|AF|=m，|BF|=n．求證

1

m

+

1

n

為定值．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)直線(xiàn)l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的定義，即可求直線(xiàn)l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出

1

m

+

1

n

．利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=-1
設(shè)直線(xiàn)l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴

2k2+4

k2

=6，∴k²=1
∴k=1或-1
（2）證明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1．
∴

1

m

+

1

n

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1)

=

x1+x2+2

(x1+x2)+x1x2+1

∵x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∴

x1+x2+2

(x1+x2)+x1x2+1

=

2k2+4 k2 +2

2k2+4 k2 +2

=1
∴

1

m

+

1

n

=1

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦，利用拋物線(xiàn)的定義，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．