Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A與AF₂垂直的直線交z軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且，過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的半徑為2．過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線l與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)（點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間）．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率k＞0，在x軸上是否存在點(diǎn)P（m，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形．如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122851126771310/SYS201310251228511267713019_DA/0.png">，知a，c的一個(gè)方程，再利用△AQF的外接圓與直線l相切得出另一個(gè)方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組即可求得所求橢圓方程；
（II）設(shè)l的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025122851126771310/SYS201310251228511267713019_DA/1.png">，所以F₁為F₂Q中點(diǎn)．
設(shè)Q的坐標(biāo)為（-3c，0），
因?yàn)锳Q⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且過(guò)A，Q，F(xiàn)₂三點(diǎn)的圓的圓心為F₁（-c，0），半徑為2c
因?yàn)樵搱A與直線l相切，所以，解得c=1，
所以a=2，b=，所以所求橢圓方程為；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=kx+2（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則x₁+x2=-
∴=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
又=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））．
由于菱形對(duì)角線互相垂直，則（）•=0，
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因?yàn)閗＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以（1+k²）（-）+4k-2m=0．
解得m=-，即
因?yàn)閗＞，可以使，所以
故存在滿足題意的點(diǎn)P且m的取值范圍是[）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用，解題時(shí)應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．