Question

如圖，點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓C：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)F₁做x軸的垂線(xiàn)交橢圓C的上半部分于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)F₂作直線(xiàn)PF₂垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）如果點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），求此時(shí)橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：直線(xiàn)PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將點(diǎn)P（-c，y₁）（y₁＞0）代入，可求得P，根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），PF₁⊥QF₂，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）利用PF₁⊥QF₂，求得，從而可求，又，求導(dǎo)函數(shù)，可得x=-c時(shí)，y′==，故可知直線(xiàn)PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．
解答：（Ⅰ）解：將點(diǎn)P（-c，y₁）（y₁＞0）代入得
∴P
∵點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，4），PF₂⊥QF₂
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)Q，∵PF₂⊥QF₂
∴
∴y₂=2a
∴
∵P，∴
∵，∴
∴y′=
∴當(dāng)x=-c時(shí)，y′==
∴直線(xiàn)PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．