若函數(shù)g（x）=
a
b
x+
2
b
（a＞0，b＞0）和函數(shù)f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過一個定點，則
1
a
+
1
b
的最小值為
 
．
考點：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出定點的坐標(biāo)，代入g（x）得a、b的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．
解答： 解：∵當(dāng)x+1=0，即x=-1時，f（x）=1+1=2；
∴函數(shù)f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過一定點（-1，2），
又函數(shù)g（x）=
a
b
x+
2
b
（a＞0，b＞0）的圖象過點（-1，2），
∴-
a
b
+
2
b
=2，
解得b=
2-a
2
，且0＜a＜2，a≠1；
∴
1
a
+
1
b
=
1
a
+
2
2-a
=
2+a
2a-a2
；
設(shè)y=
2+a
2a-a2
，（其中0＜a＜2），
則y′=
(2a-a2)-(2+a)(2-2a)
(2a-a2)2
=
a2+4a-4
(2a-a2)2
，
令a2+4a-4=0，
解得a=2
2
-2，或a=-2
2
-2（不合題意，舍去）；
當(dāng)a=2
2
-2時，y取得最小值是
1
2
2
-2
+
2
2-(2
2
-2)
=
2
2
+2
8-4
+
2+
2
4-2
=
3+2
2
2
；
故答案為：
2
2
+3
2
．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的問題，求最值時用到了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是綜合性題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
-x2+4x+5
的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={a2，a+2}，集合B={3a-2，2a+1}，若A=B，則實數(shù)a的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
x
x
x
的導(dǎo)數(shù)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
，則f（
π
8
）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

動直線x=a與函數(shù)f（x）=2
2
sin
x
2
cos
x
2
和g（x）=
2
cosx的圖象分別交于A、B兩點，則AB的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

不等式x2+4x+6≥0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

∫
 
π
2
0
sin2
x
2
dx=（　�。�
A、0
B、
π
4
-
1
2
C、
π
4
-
1
4
D、
π
2
-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin
x
2
，
1
2
)，
b
=(
3
cos
x
2
-sin
x
2
，1)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
，△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（B+C）=1，a=
3
，b=1，求△ABC的面積S．

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