Question

已知

a

=（1，0），

b

=（0，1），若向量

c

=（m，n）滿足（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0，試求點（m，n）到直線x+y+1=0的距離的最小值．

Answer 1

分析：由（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0不難得到動點（m，n）的軌跡方程是一個圓，再由圓上動點到直線距離的最值的求法，即可得到結果．

解答：解：將

c

=（m，n），代入（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=0得
-m（1-m）-n（1-n）=0，
∴(m-

1

2

)2+(n-

1

2

)2=

1

2

，
它表示以(

1

2

，

1

2

)為圓心，

2

2

為半徑的圓．
∵圓心(

1

2

，

1

2

)到直線x+y+1=0的距離d=

| 1 2 + 1 2 +1|

2

=

2

，
∴點（m，n）到直線x+y+1=0的距離的最小值為
d-r=

2

-

2

2

=

2

2

．

點評：求動點（m，n）到定直線的距離的最值，關鍵是要根據(jù)已知條件，判斷動點（m，n）的軌跡方程，然后根據(jù)軌跡方程對應曲線的性質(zhì)，計算出最終結果．