Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為

6

3

，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且

AP

•

AQ

=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AP的斜率為1，求直線PQ的方程；
（3）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

a2-1

a

=

6

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）直線AP的方程為y=x+1，直線AQ的方程為y=-x+1，將y=x+1代入橢圓C的方程

x2

3

+y2=1，得P（-

3

2

，-

1

2

），同理，得Q（

3

2

，-

1

2

）． 由此能求出直線l的方程．
（3）設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1，k≠0，將y=kx+1代入橢圓C的方程，得P（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

），同理得Q（

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

），由此求出直線l的方程為y=

4k2-1

4k

x-

1

2

．從而能證明直線l過定點N（0，-

1

2

）．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為

6

3

，
∴

a2-1

a

=

6

3

，解得a²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）解：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，
由A（0，1），直線AP的斜率為1，得直線AP的方程為y=x+1，直線AQ的方程為y=-x+1，
將y=x+1代入橢圓C的方程

x2

3

+y2=1，并整理得：4x²+6x=0，
解得x=0或x=-

3

2

，因此P的坐標為（-

3

2

，-

1

2

），同理，得Q（

3

2

，-

1

2

）．
直線l的方程為y=-

1

2

．
（3）證明：由

AP

•

AQ

=0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，
由A（0，1）可設直線AP的方程為y=kx+1，直線AQ的方程為y=-

1

k

x+1，k≠0，
將y=kx+1代入橢圓C的方程

x2

3

+y2=1，并整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或x=-

6k

1+3k2

，因此P的坐標為（-

6k

1+3k2

，-

6k2

1+3k2

+1），
即（-

6k

1+3k2

，

1-3k2

1+3k2

），
將上式中的k換成-

1

k

，得Q（

6k

k2+3

，

k2-3

k2+3

），
直線l的方程為：y=

k2-3 k2+3 - 1-3k2 1+3k2

6k k2+3 + 6k 1+3k2

（x-

6k

k2+3

）+

k2-3

k2+3

，
化簡得直線l的方程為y=

4k2-1

4k

x-

1

2

．
因此直線l過定點N（0，-

1

2

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點坐標的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．