已知橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4
2
，一條準(zhǔn)線的方程為y=
8
7
7
．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）射線y=2
2
x（x≥0）與橢圓的交點(diǎn)為M，過(guò)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)異于M）．求證：直線AB的斜率為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1．由題意得
2a=4
2
a2
c
=
8
7
7
，由此能求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)k＞0，求出M（
2
2
，2）．直線MA方程為y-2=k(x-
2
2
)，直線MB方程為y-2=-k(x-
2
2
)．分別與橢圓方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由此能證明直線AB的斜率為定值．
解答： （Ⅰ）解：由準(zhǔn)線為y=
8
7
7
知焦點(diǎn)在y軸上，
則可設(shè)橢圓方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1．
又
2a=4
2
a2
c
=
8
7
7
，解得
a=2
2
b=1
c=
7
，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+
y2
8
=1．
（Ⅱ）證明：∵斜率k存在，不妨設(shè)k＞0，求出M（
2
2
，2）．
直線MA方程為y-2=k(x-
2
2
)，
直線MB方程為y-2=-k(x-
2
2
)．
分別與橢圓方程聯(lián)立，
解出xA=
2
k2-4k
k2+8
-
2
2
，xB=
2
k2+4k
k2+8
-
2
2
．
∴
yA-yB
xA-xB
=
k(xA-xB)
xA-xB
=2
2
．
∴kAB=2
2
（定值）．
∴直線AB的斜率為定值2
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖（1）是多面體ABC-A1B1C1的直觀圖，該多面體的三視圖如圖（2）．
（1）在棱CC1（不包括點(diǎn)C、C1）上是否存在一點(diǎn)E，使EA⊥EB1，并說(shuō)明理由；
（2）在（1）的條件下，求二面角A-EB1-A1的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的兩頂點(diǎn)B（1，0）和C（-1，0），兩邊AB、AC所在直線的斜率之積是-2．
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡Q；
（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C的直線l與軌跡Q只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)在第一象限，試求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinωxcosωx-cos2ωx（ω＞0）的周期為
π
2
．
（1）求ω的值和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的三邊a，b，c成等比數(shù)列，且邊b所對(duì)的角為x，求此時(shí)函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a5-a1=80，前4項(xiàng)和S4=40．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
1
an
log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為Sn，S3=12，且滿足a3-a1，a4，a8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足2an+1-an=2nbnSn，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，離心率為
6
3
，若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且
AP
•
AQ
=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AP的斜率為1，求直線PQ的方程；
（3）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義函數(shù)f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若不等式|f′（x）|≤1對(duì)任意的x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＜0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)滿足x1∈（0，1），x2∈（1，2），求a-2b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若雙曲線
x2
4
-
y2
21
=1上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為
 
．

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