已知橢圓（a＞b＞0）與拋物線y2=4x有共同的焦點(diǎn)F，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為M，滿足．
（I）求橢圓的方程；
（II）過點(diǎn)P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，滿足，求直線l的方程．
【答案】分析：（I）由題意焦點(diǎn)F（1，0），由，且點(diǎn)M在拋物線上可求代入可求M的縱坐標(biāo)，，然后由M在橢圓，及已知c，可求a，b，進(jìn)而可求橢圓的方程
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程x=0，容易檢驗(yàn)直線l的方程不存在
②當(dāng)斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線于橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x1x2，代入=可求k
解答：解：（I）由題意可知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
∵，且點(diǎn)M在拋物線上
∴（2分）
∴
∵M(jìn)在橢圓
∴（3分）
∴a2=4，b2=3
橢圓的方程為（5分）
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程x=0
∴
∴
∴
當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程不存在（7分）
②當(dāng)斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
由可得（4k2+3）x2+8kx-8=0
∴
∵
∴=（11分）
∴（12分）
∴即
∴直線l的方程為（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于圓錐曲線的綜合性試題
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(diǎn)(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項(xiàng),n2是2m2與c2的等差中項(xiàng),則橢圓的離心率是(    )

A.                    B.               C.                 D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上的頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另 一點(diǎn)B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（天津卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓（a>b>0）,點(diǎn)在橢圓上。

（I）求橢圓的離心率。

（II）設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值。

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學(xué)試題 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．

   （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年河北省邯鄲市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

(本小題滿分分)

（普通高中）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，焦距是函數(shù)的零點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),，求k的值．

 

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