Question

已知橢圓（a＞b＞0）與拋物線y²=4x有共同的焦點F，且兩曲線在第一象限的交點為M，滿足．
（I）求橢圓的方程；
（II）過點P（0，1）的直線l與橢圓交于A、B兩點，滿足，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意焦點F（1，0），由，且點M在拋物線上可求代入可求M的縱坐標(biāo)，，然后由M在橢圓，及已知c，可求a，b，進(jìn)而可求橢圓的方程
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程x=0，容易檢驗直線l的方程不存在
②當(dāng)斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線于橢圓方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁x₂，代入=可求k
解答：解：（I）由題意可知拋物線y²=4x的焦點F（1，0）
∵，且點M在拋物線上
∴（2分）
∴
∵M(jìn)在橢圓
∴（3分）
∴a²=4，b²=3
橢圓的方程為（5分）
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程x=0
∴
∴
∴
當(dāng)斜率不存在時，直線l的方程不存在（7分）
②當(dāng)斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由可得（4k²+3）x²+8kx-8=0
∴
∵
∴=（11分）
∴（12分）
∴即
∴直線l的方程為（14分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，屬于圓錐曲線的綜合性試題