Question

把一個(gè)正方體的每個(gè)角沿各棱的中點(diǎn)都截去一個(gè)三棱錐，變成一個(gè)新的幾何體，那么在新幾何體中任意兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線段，則其位于正方體內(nèi)部的概率為（　�。�

• A．

  4

  11

• B．

  5

  11

• C．

  6

  11

• D．

  10

  11

Answer 1

分析：根據(jù)題意，新得到的幾何體有12個(gè)頂點(diǎn)，由組合數(shù)公式可得從中任取兩點(diǎn)連成直線段的情況數(shù)目，再分析其中直線段位于正方體內(nèi)部的情況：用間接法，新幾何體在原正方體的一個(gè)側(cè)面上有4個(gè)點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)連成直線段直線段不在原正方體的內(nèi)部，由組合數(shù)可得其條數(shù)，進(jìn)而可得所有不在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)，進(jìn)而可得在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)；由等可能事件的概率計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，新得到的幾何體有12個(gè)頂點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)連成直線段，共有C₁₂²=66種情況，
其中原正方體的一個(gè)側(cè)面上有4個(gè)點(diǎn)，從中任取兩點(diǎn)連成直線段，有C₄²種情況，這些直線段不在原正方體的內(nèi)部，
正方體共6個(gè)面，則不在原正方體的內(nèi)部，即在其表面的有6×C₄²=36種情況；
則在正方體的內(nèi)部的有66-36=30條；
則概率為

30

66

=

5

11

；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，涉及正方體的結(jié)構(gòu)特征；關(guān)鍵在于用間接法找到在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)．