Question

把一個正方體的每個角沿各棱的中點都截去一個三棱錐，變成一個新的幾何體，那么在新幾何體中任意兩個頂點連成直線段，則其位于正方體內(nèi)部的概率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根據(jù)題意，新得到的幾何體有12個頂點，由組合數(shù)公式可得從中任取兩點連成直線段的情況數(shù)目，再分析其中直線段位于正方體內(nèi)部的情況：用間接法，新幾何體在原正方體的一個側面上有4個點，從中任取兩點連成直線段直線段不在原正方體的內(nèi)部，由組合數(shù)可得其條數(shù)，進而可得所有不在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)，進而可得在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)；由等可能事件的概率計算可得答案．
解答：根據(jù)題意，新得到的幾何體有12個頂點，從中任取兩點連成直線段，共有C₁₂²=66種情況，
其中原正方體的一個側面上有4個點，從中任取兩點連成直線段，有C₄²種情況，這些直線段不在原正方體的內(nèi)部，
正方體共6個面，則不在原正方體的內(nèi)部，即在其表面的有6×C₄²=36種情況；
則在正方體的內(nèi)部的有66-36=30條；
則概率為=；
故選B．
點評：本題考查等可能事件的概率，涉及正方體的結構特征；關鍵在于用間接法找到在正方體的內(nèi)部的直線段的條數(shù)．