已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足,是大于0的常數(shù),且),數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求出所有可能的實(shí)數(shù)的值,若不存在說明理由;
(3)數(shù)列是否能為等比數(shù)列?若能,請給出一個符合的條件的的組合,若不能,請說明理由.
(1),(2)λ= 2或λ= 3,(3)不可能為等比數(shù)列.

試題分析:(1)求一般數(shù)列通項(xiàng),常利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系,即當(dāng)時(shí), ,整理得,又由,得,
結(jié)合q>0知,數(shù)列是首項(xiàng)為q公比為的等比數(shù)列, ∴ (2)存在性問題,一般從假設(shè)存在出發(fā),探求等量關(guān)系,將是否存在轉(zhuǎn)化為是否有解. 結(jié)合(1)知,當(dāng)q=2時(shí),,所以,假設(shè)存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等比數(shù)列,則對任意n≥2有(cn+1+λcn)2=(cn+2+λcn+1)(cn+λcn 1),將cn=2n+3n代入上式,整理得(2+λ)(3+λ)·2n·3n=0,解得λ= 2或λ= 3.(3)首先利用特殊值探討,得出結(jié)論是數(shù)列不可能為等比數(shù)列.說明也可根據(jù)特例. 由題意得c1c3 c22=b1q(p2+q2 2pq),由于p≠q時(shí),p2+q2>2pq,又q及等比數(shù)列的首項(xiàng)b1均不為零,所以 c1c3 c22≠0,即 c22≠c1·c3. 故{cn}不是等比數(shù)列.
解:(1)當(dāng)時(shí),
,整理得                    2分
又由,得                3分
結(jié)合q>0知,數(shù)列是首項(xiàng)為q公比為的等比數(shù)列, ∴      5分
(2)結(jié)合(1)知,當(dāng)q=2時(shí),,所以                     6分
假設(shè)存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等比數(shù)列,則對任意n≥2有
(cn+1+λcn)2=(cn+2+λcn+1)(cn+λcn 1),將cn=2n+3n代入上式,得:
[2n+1+3n+1+λ(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2+λ(2n+1+3n+1)]·[2n+3n+λ(2n 1+3n 1)],
即    [(2+λ)2n+(3+λ)3n]2=[(2+λ)2n+1+(3+λ)3n+1][(2+λ)2n 1+(3+λ)3n 1],
整理得(2+λ)(3+λ)·2n·3n=0,解得λ= 2或λ= 3.            10分
故存在實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)= 2或 3,使數(shù)列是等比數(shù)列.           11分
(3)數(shù)列不可能為等比數(shù)列.                   12分
理由如下:
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為p,則由題設(shè)知p≠q,則cn=qn+b1pn 1
為要證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3.
事實(shí)上,
c22=(q2+b1p)2=q4+2q2b1p+b12p2,           ①
c1·c3=(q+b1)(q3+b1p2)=q4+b12p2+b1q(p2+q2),     ②
②-①得
c1c3 c22=b1q(p2+q2 2pq)
由于p≠q時(shí),p2+q2>2pq,又q及等比數(shù)列的首項(xiàng)b1均不為零,
所以 c1c3 c22≠0,即 c22≠c1·c3. 故{cn}不是等比數(shù)列.             16分
練習(xí)冊系列答案
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②當(dāng)時(shí),數(shù)列{an}不一定有最大項(xiàng);
③當(dāng)時(shí),數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;
④當(dāng)為正整數(shù)時(shí),數(shù)列{an}必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng).
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其中真命題有                     

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已知數(shù)列滿足,且,則     

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數(shù)列的前項(xiàng)和,則            .

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