Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處取得極值10，則f（-1）=

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，可知f′（1）=0和f（1）=10，求出a，b，即可求出f（-1）．

解答： 解：由f（x）=x³+ax²+bx+a²，得f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處取得極值10，
∴f′（1）=0，f（1）=10，
∴

2a+b+3=0 a2+a+b+1=10

，
∴

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
當(dāng)

a=-3 b=3

時，f′（x）=3（x-1）²≥0，∴在x=1處不存在極值；
當(dāng)

a=4 b=-11

時，f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1）
∴x∈（-

11

3

，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴適合
∴f（-1）=-1+4+11+16=30．
故答案為：30．

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是極值點的必要不充分條件，因此對于解得的結(jié)果要檢驗，這是易錯點，屬于基礎(chǔ)題．