Question

已知點A（-1，0）、B（1，0）和動點M滿足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，動點M的軌跡為曲線C，過點B的直線交C于P、Q兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△APQ面積的最大值．

Answer 1

（1）設M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ，
由余弦定理可得|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4，
整理變形可得|AM|+|BM|=4，
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=2，c=1
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設直線PQ方程為x=my+1（m∈R）由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得：（3m²+4）y²+6my-9=0
顯然，方程①的△＞0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有S=

1

2

×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×

3m2+3

(3m2+4)2

令t=3m²+3，則t≥3，（y₁-y₂）²=

48

t+ 1 t +2

由于函數(shù)y=t+

1

t

在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴t+

1

t

≥

10

3

故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值為3