【題目】如圖，四棱錐中，平面底面，且在底面正投影點在線段上，，.

（1）證明：；

（2）若，與所成角的余弦值為，求鈍二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題（1）分析條件易得平面, ∵平面, ∴；

（2）作于點，則底面, ,以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，用向量求解即可.

試題解析：

（1）如圖，連接交于點.∵,即為等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,

∴.

（2）作于點，則底面, ,以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，而,得,

又，故.

設(shè)，則由，得，而，

由，得，則,

所以.

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由得可取，

由得可取，

從而法向量的夾角的余弦值為.

由圖可知二面角是鈍角，故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：的右焦點為，離心率為，過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P，Q點，若|PQ|=．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過的直線l的斜率存在且不為0，直線l交橢圓于A，B兩點，若以AB為直徑的圓過橢圓左焦點，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著支付寶、微信等支付方式的上線，越來越多的商業(yè)場景可以實現(xiàn)手機支付．為了解各年齡層的人使用手機支付的情況，隨機調(diào)查50次商業(yè)行為，并把調(diào)查結(jié)果制成下表：

年齡（歲）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

手機支付

4

6

10

6

2

0

(1)若從年齡在 [55，65）的被調(diào)查者中隨機選取2人進行調(diào)查，記選中的2人中使用手機支付的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)把年齡在[15，45）稱為中青年，年齡在[45，75）稱為中老年，請根據(jù)上表完2×2列聯(lián)表，是否有以上的把握判斷使用手機支付與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)？

手機支付

未使用手機支付

總計

中青年

中老年

總計

可能用到的公式：

獨立性檢驗臨界值表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用五種不同顏色（顏色可以不全用完）給三棱柱的六個頂點涂色，要求每個點涂一種顏色，且每條棱的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色種數(shù)有（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市交通管理部門為了解市民對機動車“單雙號限行”的態(tài)度，隨機采訪了100名市民，將他們的意見和是否擁有私家車的情況進行了統(tǒng)計，得到了如下的列聯(lián)表：

贊同限行

不贊同限行

合計

沒有私家車

15

有私家車

45

合計

100

已知在被采訪的100人中隨機抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是.

（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整；

（2）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“對限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關(guān)”；

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該市大量市民中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.

附：參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.10

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國家規(guī)定，疫苗在上市前必須經(jīng)過嚴(yán)格的檢測，并通過臨床實驗獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

未感染病毒

感染病毒

總計

未注射疫苗

40

p

x

注射疫苗

60

q

y

總計

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（1）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)p，q，，的值；

（2）能否有把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病例分析，然后從這五只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗情況進行核實，求至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的概率. 附：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ， ．

（1）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點， ，過線段的中點作軸的垂線分別交， 于點， ，證明： 在點處的切線與在點處的切線不平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某食品廠生產(chǎn)的面包中抽取個，測量這些面包的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組

頻數(shù)

（1）在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）估計這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于的面包至少要占全部面包的規(guī)定？”

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