【題目】如圖，四棱錐中，平面底面，且在底面正投影點(diǎn)在線段上，，.

（1）證明：；

（2）若，與所成角的余弦值為，求鈍二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題（1）分析條件易得平面, ∵平面, ∴；

（2）作于點(diǎn)，則底面, ,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，用向量求解即可.

試題解析：

（1）如圖，連接交于點(diǎn).∵,即為等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,

∴.

（2）作于點(diǎn)，則底面, ,以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，而,得,

又，故.

設(shè)，則由，得，而，

由，得，則,

所以.

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

由得可取，

由得可取，

從而法向量的夾角的余弦值為.

由圖可知二面角是鈍角，故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，離心率為，過作與x軸垂直的直線與橢圓交于P，Q點(diǎn)，若|PQ|=．

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過的直線l的斜率存在且不為0，直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過橢圓左焦點(diǎn)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著支付寶、微信等支付方式的上線，越來越多的商業(yè)場景可以實(shí)現(xiàn)手機(jī)支付．為了解各年齡層的人使用手機(jī)支付的情況，隨機(jī)調(diào)查50次商業(yè)行為，并把調(diào)查結(jié)果制成下表：

年齡（歲）

[15，25）

[25，35）

[35，45）

[45，55）

[55，65）

[65，75）

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

手機(jī)支付

4

6

10

6

2

0

(1)若從年齡在 [55，65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查，記選中的2人中使用手機(jī)支付的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)把年齡在[15，45）稱為中青年，年齡在[45，75）稱為中老年，請根據(jù)上表完2×2列聯(lián)表，是否有以上的把握判斷使用手機(jī)支付與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)？

手機(jī)支付

未使用手機(jī)支付

總計(jì)

中青年

中老年

總計(jì)

可能用到的公式：

獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用五種不同顏色（顏色可以不全用完）給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色種數(shù)有（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市交通管理部門為了解市民對機(jī)動車“單雙號限行”的態(tài)度，隨機(jī)采訪了100名市民，將他們的意見和是否擁有私家車的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到了如下的列聯(lián)表：

贊同限行

不贊同限行

合計(jì)

沒有私家車

15

有私家車

45

合計(jì)

100

已知在被采訪的100人中隨機(jī)抽取1人且抽到“贊同限行”者的概率是.

（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“對限行的態(tài)度與是否擁有私家車有關(guān)”；

（3）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該市大量市民中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名市民，抽取3次，記被抽取的3名市民中的“贊同限行”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列、期望和方差.

附：參考公式：，其中.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.10

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國家規(guī)定，疫苗在上市前必須經(jīng)過嚴(yán)格的檢測，并通過臨床實(shí)驗(yàn)獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，以保證疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進(jìn)行科研和臨床實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

未感染病毒

感染病毒

總計(jì)

未注射疫苗

40

p

x

注射疫苗

60

q

y

總計(jì)

100

100

200

現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.

（1）求列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)p，q，，的值；

（2）能否有把握認(rèn)為注射此種疫苗有效？

（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進(jìn)行病例分析，然后從這五只小白鼠中隨機(jī)抽取3只對注射疫苗情況進(jìn)行核實(shí)，求至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的概率. 附：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ， ．

（1）若，且存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)， ，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交， 于點(diǎn)， ，證明： 在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線不平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某食品廠生產(chǎn)的面包中抽取個(gè)，測量這些面包的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組

頻數(shù)

（1）在相應(yīng)位置上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

（2）估計(jì)這種面包質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該食品廠生產(chǎn)的這種面包符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于的面包至少要占全部面包的規(guī)定？”

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