Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)x₁x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明方程f（x）=

1

2

[f(x1)+f(x2)]必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x₁，x₂）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足以下條件
①當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值0；
②對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)對(duì)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分析判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）若方程f（x）=

1

2

[f(x1)+f(x2)]必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x₁，x₂），則函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]在（x₁，x₂）必有一零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可以證明
（3）根據(jù)條件①和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得b=2a，c=a，令x=1，結(jié)合條件②，可求出a，b，c的值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
當(dāng)a=c時(shí)，△=0，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
證明：（2）令g（x）=f（x）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]，…（6分）
∵g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x1)-f(x2)]
g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x2)-f(x1)]
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2
∵f（x₁）≠f（x₂），
故g（x₁）•g（x₂）＜0
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根．
即方程f（x）=

1

2

[f(x1)+f(x2)]必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x₁，x₂）．----（8分）
解：（3）假設(shè)a，b，c存在，由①得-

b

2a

=-1，

4ac-b2

4a

=0
∴b=2a，c=a．------------（9分）
由②知對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

令x=1得0≤f（1）-1≤0
∴f（1）=1
∴a+b+c=1
解得：a=c=

1

4

，b=

1

2

，…．（10分）
當(dāng)a=c=

1

4

，b=

1

2

時(shí)，f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²，其頂點(diǎn)為（-1，0）滿足條件①，
又f（x）-x=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x-1）²，對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

2

，滿足條件②．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同時(shí)滿足條件①、②．   …．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，以及存在性問(wèn)題的處理方式，屬于較難的題目．