Question

已知橢圓C：x²+=1，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)P，且P為AM的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（0，），求||的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，所以y₁=-1，又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）在橢圓C上，所以，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，所以，則，由此進(jìn)行分類討論，能推導(dǎo)出當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時(shí)，有最大值1．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），
因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
所以，解得y₁=-1，（1分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x₁，y₁）在橢圓C上，
所以，即，解得，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）或（-），
所以直線l的方程為，或．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
所以，
則，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時(shí)；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+1，
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，
消去y得（4+k²）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²+12（4+k²）＞0，，
則，
所以
=，
當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)取得最大值1．
綜上，當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時(shí)，有最大值1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活運(yùn)用．