Question

3．邊長為4的菱形ABCD中，滿足∠DCB=60°，點E，F(xiàn)分別是邊CD和CB的中點，AC交BD于點H，AC交EF于點O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，連接PA，PB，PD，得到如圖所示的五棱錐P-ABFED．
（Ⅰ）求證：BD⊥PA；
（Ⅱ）求點D到平面PBF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明BD⊥PA；
（Ⅱ）設(shè)點D到平面PBF的距離為h，由等體積可得點D到平面PBF的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?PEF，
∴PO⊥平面ABD
則PO⊥BD，
又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?APO，PO?APO，
∴BD⊥平面APO，
∵AP?平面APO，∴BD⊥PA…．（6分）
（Ⅱ）解：由題意，O到BC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PO=$\sqrt{3}$，
∴P到BC的距離為$\sqrt{\frac{3}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點D到平面PBF的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{{4\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

點評 本題主要考查線線垂直的判定以及點D到平面PBF的距離，考查等體積方法的運用，屬于中檔題．