Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為
l₁，l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B（如圖）．
（1）當(dāng)l₁與l₂的夾角為60°，且△POF的面積為

3

2

時，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)

FA

=λ

AP

時，求當(dāng)λ取到最大值時橢圓的離心率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）l₁的斜率為-

b

a

，l₂的斜率為

b

a

，由l₁與l₂的夾角為60°，利用夾角公式，可得a=

3

b，利用△POF的面積為

3

2

，可得ab=

3

，從而可求a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)

FA

=λ

AP

時，求出A的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求當(dāng)λ取到最大值時橢圓的離心率．

解答： 解：（1）l₁的斜率為-

b

a

，l₂的斜率為

b

a

，由l₁與l₂的夾角為60°，
得|

b a + b a

1-( b a )2

|=

3

，整理，得a=

3

b．           ①
由

y= b a x y= a b (x-c).

，得P(

a2

c

，

ab

c

)．
由S△POF=

3

2

，得

1

2

•c•

ab

c

=

3

2

．
∴ab=

3

．               ②
由①②，解得a=

3

，b=1．
∴橢圓C方程為：

x2

3

+y2=1．
（2）由P(

a2

c

，

ab

c

)，F(xiàn)（c，0）及

FA

=λ

AP

，得A(

c+ λa2 c

1+λ

，

λab c

1+λ

)．
將A點坐標(biāo)代入橢圓方程，得

(c+ λa2 c )2

(1+λ)2

+

( λab c )2

(1+λ)2

=1．
整理，得λ2=

e2(1-e2)

2-e2

=-[(2-e2)+

2

2-e2

]+3≤3-2

2

，
∴λ的最大值為

2

-1，此時e=

2- 2

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計算，考查向量知識的運用，考查基本不等式，屬于中檔題．