Question

已知向量

a

=(1，2)，

b

=(cosα，sinα)，設(shè)

c

=

a

-t

b

（t為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）t=1時(shí)，若

c

∥

b

，求tanα；
（Ⅱ）若α=

π

4

，求|

c

|的最小值，并求出此時(shí)向量

a

在

c

方向上的投影．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用向量共線定理即可得出；
（II）利用數(shù)量積的性質(zhì)可得|

c

|，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出其最小值，進(jìn)而得出投影．

解答： 解：（I）∵t=1，∴

c

=(1-cosα，2-sinα)，
∵

c

∥

b

，
∴cosα（2-sinα）-sinα（1-cosα）=0，
化為2cosα=sinα，
可得tanα=2；
（II）α=

π

4

時(shí)，|

c

|=

(1- 2 2 t)2+(2- 2 2 t)2

=

t2-3 2 t+5

，
當(dāng)t=

3 2

2

時(shí)，|

c

|min=

2

2

，
此時(shí)

c

=(-

1

2

，

1

2

)，

a

在

c

方向上的投影

a • c

| c |

=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量共線定理、數(shù)量積的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、投影等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．