Question

如圖，已知平面Ａ₁B₁C₁平行于三棱錐V－ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB＝90°，設(shè)AC＝2a，BC＝a．

(1)求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

(2)求點(diǎn)A到平面VBC的距離；

(3)求二面角A－VB－C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)證明：∵平面A1B1C1∥平面ABC， 　　∴B1C1∥BC，A1C1∥AC， 　　∵BC⊥AC， 　　∴B1C1⊥A1C1． 　　又∵平面AB1C⊥平面ABC． 　　平面AB1C∩平面ABC＝AC， 　　∴BC⊥平面AB1C， 　　∴BC⊥AB1， 　　∴B1C1⊥AB1． 　　又A1C1∩B1C＝C1． 　　B1C1∩AB1＝B1． 　　∴B1C1為AB1與A1C1的公垂線． 　　(2)解法1：過A作AD⊥B1C于D， 　　∵△AB1C為正三角形， 　　∴D為B1C的中點(diǎn)， 　　∵BC⊥平面AB1C 　　∴BC⊥AD．又B1C∩BC＝C， 　　∴AD⊥平面VBC， 　　∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面VAC的距離． 　　在正△AB1C中，AD＝·AC＝×2a＝． 　　∴點(diǎn)A到平面VBC的距離為． 　　解法2：取AC中點(diǎn)O連結(jié)B1O，則B1O⊥平面ABC，且B1O＝． 　　由(1)知BC⊥B1C，設(shè)A到平面VBC的距離為x， 　　∴C， 　　即×BC·AC·B1O＝×BC·B1C·x．解得x＝， 　　即A到平面VBC的距離為． 　　(3)解析：過D點(diǎn)作DH⊥VB于H，連AH，由三垂線定理知AH⊥VB， 　　∴∠AHD是二面角A－VB－C的平面角． 　　在Rt△AHD中， 　　AD＝，△B1DH∽△B1BC，． 　　∴DH＝＝a． 　　∴tan∠AHD＝． 　　∴∠AHD＝arctan． 　　所以，二面角A－VB－C的大小為arctan． 　　解法二：取AC中點(diǎn)O連B1O，已知OB1⊥底面ABC，過O從直線OE∥BC交AB于E． 　　取O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，OE，OC，OB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　則A(0，－a，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，B1(0，0，)． 　　(1)證明：∵＝(－a，0，0)，＝(0，a，)， 　　∴·＝(－a，0，0)·(0，a，)＝0， 　　∴⊥． 　　∴BC⊥． 　　又∵B1C1∥BC， 　　B1C1⊥AB1， 　　由已知BC⊥AC， 　　AC∥A1C1．∴BC⊥A1C1． 　　而BC∥B1C1， 　　∴B1C1⊥A1C1．又B1C1與AB1，A1C1顯然相交， 　　∴B1C1是AB1與A1C1的公垂線． 　　(2)解析：設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)． 　　又＝(0，－a，a) 　　由 　　取z＝1得n＝(0，，1)． 　　點(diǎn)A到平面VAB的距離，即在平面VBC的法向量n上的投影的絕對值． 　　∵＝(0，a，)，設(shè)所求距離為d． 　　則d＝|||·cos〈·n〉| 　　|||·| 　�。�． 　　所以，A到平面VBC的距離為a． 　　(3)解析：設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量m＝(x1，y1，z1)， 　　由 　　取z1＝1，m＝(，1)． 　　∴cos〈m，n〉＝＝－． 　　∵二面角A－VB－C為銳角，∴二面角A－VB－C的大小為arccos．