如圖,在三棱錐P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,平面PAC⊥平面ABC.
(1)求證:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PC=2,求△PBC的面積.
考點(diǎn):平面與平面垂直的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)由線面垂直證面面垂直,由題意可得BC⊥平面PAC,故可得證;
(2)由(1)得△PBC是直角三角形,由題意求得PB、BC的長(zhǎng),即可解得.
解答: (1)證明:∵平面PAC⊥平面ABC,∠PAC=90°,
∴PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC,又∠ABC=90°,即AB⊥BC,
∵AB∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC,又∵BC?平面PBC,
∴平面PAB⊥平面PBC;
(2)解:∵△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,∠ACP=30°,PC=2,
∴PA=1,AC=
3
,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,
∴AB=BC=
6
2
,PB=
12+(
6
2
)
2
=
10
2
,
∴S△PBC=
1
2
×
6
2
×
10
2
=
15
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì),考查學(xué)生的邏輯證明能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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判斷下列函數(shù)的奇偶性
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1-x2
|x+2|-2
;
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1+2x
的值域是( 。
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B、(-1,1)
C、[-1,1)
D、(-1,1]

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x2
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B、a5=2
C、a6=2
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