【題目】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn),兩條漸近線的夾角為,直線交雙曲線于、.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若過(guò)原點(diǎn),為雙曲線上異于、的一點(diǎn),且直線、的斜率為、,證明:為定值;
(3)若過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn),是否存在軸上的點(diǎn),使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),都有成立?若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)存在,.
【解析】
(1)根據(jù)雙曲線所過(guò)的點(diǎn)和漸近線的夾角可得關(guān)于的方程組,解該方程組后可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè),,,用三點(diǎn)的坐標(biāo)表示,再利用點(diǎn)滿(mǎn)足的方程化簡(jiǎn)前者可得所求的定值.
(3)設(shè)直線為,,,根據(jù)可得恒等式,聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得,從而得到所求的定點(diǎn).
(1)雙曲線的漸近線方程為,
因?yàn)閮蓷l漸近線的夾角為,故漸近線的傾斜角為或,
所以或.
又,故 或(無(wú)解),故,
所以雙曲線.
(2)設(shè),,,
故,,所以,
因?yàn)?/span>,所以即,
所以為定值.
(3)雙曲線的右焦點(diǎn)為,
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為:,設(shè),,
因?yàn)?/span>,所以,
整理得到①,
由可以得到,
因?yàn)橹本與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
故且,
所以.
由題設(shè)有①對(duì)任意的總成立,
因,
所以①可轉(zhuǎn)化為,
整理得到對(duì)任意的總成立,
故,故即所求的定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),則,此時(shí)或,
此時(shí).
綜上,定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,底面為菱形,平面,,分別是的中點(diǎn).
1證明:;
2若為上的動(dòng)點(diǎn),與平面所成最大角的正切值為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線為橢圓的右準(zhǔn)線,直線與軸的交點(diǎn)記為,過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
(1)設(shè)點(diǎn)在直線上,且滿(mǎn)足,若直線與線段交于點(diǎn),求證:點(diǎn)為線段的中點(diǎn);
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與直線交于點(diǎn),試問(wèn)是否為定值,若是,求出這個(gè)定值,若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙三位同學(xué)在某次考試中總成績(jī)列前三名,有,,三位學(xué)生對(duì)其排名猜測(cè)如下::甲第一名,乙第二名;:丙第一名;甲第二名;:乙第一名,甲第三名.成績(jī)公布后得知,,,三人都恰好猜對(duì)了一半,則第一名是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)中國(guó)生態(tài)環(huán)境部公布的2017年、2018年長(zhǎng)江流域水質(zhì)情況監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),得到如下餅圖:
則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.2018年的水質(zhì)情況好于2017年的水質(zhì)情況
B.2018年與2017年相比較,Ⅰ、Ⅱ類(lèi)水質(zhì)的占比明顯增加
C.2018年與2017年相比較,占比減小幅度最大的是Ⅳ類(lèi)水質(zhì)
D.2018年Ⅰ、Ⅱ類(lèi)水質(zhì)的占比超過(guò)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè),已知函數(shù),.
(Ⅰ)設(shè),求在上的最大值.
(Ⅱ)設(shè),若的極大值恒小于0,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)函數(shù)有最大值且最大值大于時(shí),求的取值范圍.
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【題目】已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:
根據(jù)該折線圖可知,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A. 該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高
B. 該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低
C. 該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益
D. 該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓,為橢圓的左右頂點(diǎn),焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,且,為橢圓上異于的兩點(diǎn),直線的斜率等于直線斜率的2倍.
(1)求直線與直線的斜率乘積值;
(2)求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn);
(3)求三角形的面積的最大值.
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