【題目】已知點F（0，1），直線l：y=﹣1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且 ．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設|DA|=l1 ， |DB|=l2 ， 求 的最大值．

【答案】
（1）解：設P（x，y），則Q（x，﹣1），

∵ ，

∴（0，y+1）（﹣x，2）=（x，y﹣1）（x，﹣2）．

即2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），即x2=4y，

所以動點P的軌跡C的方程x2=4y


（2）解：設圓M的圓心坐標為M（a，b），則a2=4b．①

圓M的半徑為 ．

圓M的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2．

令y=0，則（x﹣a）2+b2=a2+（b﹣2）2，

整理得，x2﹣2ax+4b﹣4=0．②

由①、②解得，x=a±2．

不妨設A（a﹣2，0），B（a+2，0），

∴ ， ．

∴ = ，③

當a≠0時，由③得， ．

當且僅當 時，等號成立．

當a=0時，由③得， =2．

故當 時， 的最大值為 ．


【解析】（1）先設出點P的坐標，代入 整理即可得到動點P的軌跡C的方程；（2）先利用條件設出圓的方程，并求出A、B兩點的坐標以及|DA|=l1 ， |DB|=l2的表達式，代入 整理后利用基本不等式求最大值即可．

練習冊系列答案
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方案二：從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個，黑球7個）的抽獎盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.

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