【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域,并判斷的奇偶性;
(2)如果當時,的值域是,求與的值;
(3)對任意的,,是否存在,使得,若存在,求出;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(﹣1,1),f(x)是奇函數(shù);(2),t=﹣1;(3)存在,.
【解析】
(1)直接由真數(shù)大于0,解分式不等式可得函數(shù)的定義域,利用定義判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)給出的函數(shù)是對數(shù)型的復合函數(shù),經(jīng)分析可知內(nèi)層分式函數(shù)為減函數(shù),外層對數(shù)函數(shù)也為減函數(shù),要保證當時,的值域是,首先應有,,,且當時,,結(jié)合內(nèi)層函數(shù)圖象及單調(diào)性可得,且,從而求出和的值;
(3)假設存在,使得,代入對數(shù)式后把用,表示,只要能夠證明在定義域內(nèi)即可,證明可用作差法或分析法.
解:(1)要使原函數(shù)有意義,則,解得,
所以,函數(shù)的定義域
是定義域內(nèi)的奇函數(shù).
證明:對任意,有
所以函數(shù)是奇函數(shù).
(2)由知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
因為,所以在上是增函數(shù)
又因為時,的值域是,所以,,
且在的值域是,
故且
由得:,解得或(舍去).
所以,
(3)假設存在使得
即
則,
解得,
下面證明.
證明:由.
,,,,
,即,.
所以存在,使得.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,過左焦點的直線與橢圓交于,兩點,且線段的中點為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設為上一個動點,過點與橢圓只有一個公共點的直線為,過點與垂直的直線為,求證:與的交點在定直線上,并求出該定直線的方程.
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【題目】對于定義域為R的函數(shù)y=f(x),部分x與y的對應關(guān)系如表:
x | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | ﹣1 | 0 | 2 |
(1)求f{f[f(0)]};
(2)數(shù)列{xn}滿足x1=2,且對任意n∈N*,點(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,求x1+x2+…+x4n;
(3)若y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b,其中A>0,0<ω<π,0<φ<π,0<b<3,求此函數(shù)的解析式,并求f(1)+f(2)+…+f(3n)(n∈N*).
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【題目】為了了解運動健身減肥的效果,某健身房調(diào)查了20名肥胖者,健身之前他們的體重(單位:kg)情況如三維餅圖(1)所示,經(jīng)過四個月的健身后,他們的體重情況如三維餅圖(2)所示.
對比健身前后,關(guān)于這20名肥胖者,下面結(jié)論正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人增加了2個
B.他們健身后,體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒有改變
C.他們健身后,20人的平均體重大約減少了
D.他們健身后,原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少
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【題目】設是平面內(nèi)互不平行的三個向量,,有下列命題:
①方程不可能有兩個不同的實數(shù)解;
②方程有實數(shù)解的充要條件是;
③方程有唯一的實數(shù)解;
④方程沒有實數(shù)解.
其中真命題有 .(寫出所有真命題的序號)
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【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學用語,“塹堵”意指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱,而“陽馬”指底面為矩形,且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵,,若,當陽馬體積最大時,則塹堵的外接球體積為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知點,直線:,平面上有一動點,記點到的距離為.若動點滿足:.
(1)求點的軌跡方程;
(2)過的動直線與點的軌跡交于,兩點,試問:在軸上,是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在同一平面直角坐標系中,將曲線上的點按坐標變換得到曲線,以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.設點的極坐標為.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)若過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點,求的值.
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