Question

（本小題滿分14分）

設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

當(dāng)時(shí)，單增區(qū)間為：；單減區(qū)間為：、；

（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意得：，可得，

有且；

得，

由于是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)得到，即

確定與的關(guān)系式討論（1）當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由（1）知在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206023416802634/SYS201502120602418871622613_DA/SYS201502120602418871622613_DA.026.png">，在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206023416802634/SYS201502120602418871622613_DA/SYS201502120602418871622613_DA.029.png">

由于，必須且只須即可.

試題解析：（1）∵

∴

由題意得：，即，

∴且

令得，

∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)

∴，即

故與的關(guān)系式

當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

當(dāng)時(shí)，，由得單增區(qū)間為：；

由得單減區(qū)間為：、；

（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206023416802634/SYS201502120602418871622613_DA/SYS201502120602418871622613_DA.026.png">

易知，在上是增函數(shù)

在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015021206023416802634/SYS201502120602418871622613_DA/SYS201502120602418871622613_DA.029.png">

由于

又要存在存在，使得成立，

必須且只須，解得

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

考點(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；2.函數(shù)的值域；3.轉(zhuǎn)化與化歸思想.