Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f(x)=-

5

2

x+b在區(qū)間（0，2）有兩個不等實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x在x=0處取得極值，則有f'（x）=0，從而求解；
（2）由由f'（x）＞0得增區(qū)間；由f'（x）＜0得減區(qū)間；
（3）將方程f(x)=-

5

2

x+b轉(zhuǎn)化為g(x)=f(x)-(-

5

2

x+b)，利用根的分布求解．

解答：解：（1）由已知得f′(x)=

1

x+a

-2x-1=

1-2x(x+a)-(x+a)

(x+a)

，
∵f'（x）=0∴

1-a

a

=0∴a=1，
（2）由（1）得f′(x)=

1-2x(x+1)-(x+1)

x+1

=

-2x(x+ 3 2 )

x+1

(x＞-1)
由f'（x）＞0得-1＜x＜0，由f'（x）＜0得x＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
（3）令g(x)=f(x)-(-

5

2

x+b)=ln(x+1)-x2+

3

2

x-b，x∈(0，2)
則g′(x)=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-4x2-x+5

2(x+1)

=-

2(x+ 5 4 )(x-1)

x+1

，
令g'（x）=0得x=1或x=-

5

4

（舍），
當0＜x＜1時g'（x）＞0，
當1＜x＜2時g'（x）＜0即g（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，
方程f(x)=-

5

2

x+b在區(qū)間（0，2）上有兩個不等實根等價于函數(shù)g（x）在（0，2）上有兩個不同的零點．
∴

g(0)＜0 g(1)＞0 g(2)＜0

?

-b＜0 ln2+ 1 2 -b＞0 ln3-1-b＜0

?

b＞0 b＜ln2+ 1 2 b＞ln3-1

∴ln3-1＜b＜ln2+

1

2

（13分）
即實數(shù)b的取值范圍為ln3-1＜b＜ln2+

1

2

（14分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究極值，單調(diào)性以及用函數(shù)解決方程根的分布問題．