Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C₁上的點(diǎn)M（2，

3

）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=

π

3

．且以O(shè)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，射線θ=

π

4

與曲線C₂交于點(diǎn)D（

2

，

π

4

）．
（1）求曲線C₁的普通方程，C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）是曲線C₁上的兩點(diǎn)，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C₁上的點(diǎn)M（2，

3

）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=

π

3

可得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

，解得即可得到曲線C₁的普通方程．設(shè)圓C₂的半徑為R，由于射線θ=

π

4

與曲線C₂交于點(diǎn)D（

2

，

π

4

），可得

2

=2Rcos

π

4

，解得即可得到圓C₂的極坐標(biāo)方程．
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，化為

1

ρ2

=

cos2θ

16

+

sin2θ

4

，把A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）代入曲線C₁即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C₁上的點(diǎn)M（2，

3

）對(duì)應(yīng)的參數(shù)φ=

π

3

可得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

，解得

a=4 b=2

，
∴曲線C₁的普通方程為

x2

16

+

y2

4

=1．
設(shè)圓C₂的半徑為R，由于射線θ=

π

4

與曲線C₂交于點(diǎn)D（

2

，

π

4

）．
可得

2

=2Rcos

π

4

，解得R=1．
∴圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（2）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：

(ρcosθ)2

16

+

(ρsinθ)2

4

=1，化為

1

ρ2

=

cos2θ

16

+

sin2θ

4

，
∵A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+

π

2

）是曲線C₁上的兩點(diǎn)，
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=(

cos2θ

16

+

sin2θ

4

)+(

cos2(θ+ π 2 )

16

+

sin2(θ+ π 2 )

4

)
=(

cos2θ

16

+

sin2θ

4

)+(

sin2θ

16

+

cos2θ

4

)
=

1

16

+

1

4

=

5

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程及其直角坐標(biāo)方程的互化和應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．