Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是PC的中點，PA=PD，BC=

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AD．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求證：平面PQB⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC，交BQ于N，連接MN，欲證PA∥平面MBQ，只需在平面MBQ內(nèi)找一直線與PA平行即可，根據(jù)BC

∥ .

.

AQ可知四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，根據(jù)中位線可知MN∥PA，而MN?平面MQB，PA?平面MQB滿足線面平行的條件；
（Ⅱ）根據(jù)AD∥BC，BC=

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2

AD，Q為AD的中點可得四邊形BCDQ為平行四邊形，則CD∥BQ，從而QB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，BQ⊥平面PAD，而BQ?平面PQB，滿足面面垂直的判定定理，從而證得結(jié)論．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，交BQ于N，連接MN． （2分）
∵BC∥AD且BC=

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2

AD，即BC

∥ .

.

AQ．
∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，
又∵點M在是棱PC的中點，
∴MN∥PA           （4分）
∵MN?平面MQB，PA?平面MQB，（5分）
∴PA∥平面MBQ．    （6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=

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2

AD，Q為AD的中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，
∴CD∥BQ．         （8分）
∵∠ADC=90°
∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，（10分）
∴BQ⊥平面PAD．             （11分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．      （12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理，同時考查了空間想象能力，屬于中檔題．