Question

已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求證：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，根據(jù)a+b≥0，易得a≥-b，且b≥-a，進而根據(jù)單調性的性質和不等式的性質，即可得到答案．
（II）（I）中命題的逆命題為若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0，根據(jù)正“難”則“反”的原則，我們可以用反證法判定結論的真假．

解答：證明：（Ⅰ）因為a+b≥0，所以a≥-b．
由于函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
所以f（a）≥f（-b）．
同理，f（b）≥f（-a）．
兩式相加，得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．…（6分）
（Ⅱ）逆命題：
若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），則a+b≥0．
用反證法證明
假設a+b＜0，那么

a+b＜0?a＜-b?f(a)＜f(-b) a+b＜0?b＜-a?f(b)＜f(-a).

所以f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
這與f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命題得證．
…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調性的性質，命題的真假判斷與應用，其中（1）的關鍵是將a+b≥0，變形為a≥-b，且b≥-a，（2）的關鍵是根據(jù)正“難”則“反”的原則，選用反證法進行論證．