Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上，圖象關(guān)于原點對稱，且是f(x+1)=-

1

f(x)

，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，則f（log

1

2

6）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：先確定log

1

2

6的取值范圍，利用函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇函數(shù)的性質(zhì)將f（log

1

2

6）的值用f（log2

3

2

）的值表示出來，再由x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，即可求出答案．

解答：解：∵f(x+1)=-

1

f(x)

，
∴f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期T=2，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上，圖象關(guān)于原點對稱，
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
f（log

1

2

6）=f（-log₂6）=f（-log₂6+2）=f（log2

1

6

+log24）=f（log2

2

3

）=f（-log2

3

2

）=-f（log2

3

2

），
又當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=2^x-1，
∴f（log2

3

2

）=2log2

3

2

-1=

3

2

-1=

1

2

，
∴f（log

1

2

6）=-

1

2

，
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，以及對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了函數(shù)的求值．綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．屬于中檔題．