曲線C上任意一點到E(-4,0),F(xiàn)(4,0)的距離的和為12,C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點,點P在C上,且位于x軸上方,
(1)求曲線C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為,求直線l的方程.
【答案】分析:(1)設(shè)G是曲線C上任意一點,依題意,|GE|+|GF|=12.a(chǎn)=6,c=4,,由此可知所求的橢圓方程.
(2)由已知A(-6,0),F(xiàn)(4,0),設(shè)點P的坐標為(x,y),則由已知得,由此可推導(dǎo)出點P的坐標為;
(3)圓O的圓心為(0,0),半徑為6,其方程為x2+y2=36,直線l的方程為,圓心到l的距離,所以,由此可推導(dǎo)出所求的直線l的方程.
解答:解:(1)設(shè)G是曲線C上任意一點,依題意,|GE|+|GF|=12.
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓,且橢圓的長半袖a=6,半焦距c=4,
所以短半軸,
所以所求的橢圓方程為;
(2)由已知A(-6,0),F(xiàn)(4,0),設(shè)點P的坐標為(x,y)

由已知得

由于y>0,所以只能取
所以點P的坐標為;
(3)圓O的圓心為(0,0),半徑為6,其方程為x2+y2=36,
若過P的直線l與x軸垂直,則直線l的方程為,
這時,圓心到l的距離,
所以
符合題意;
若過P的直線l不與x軸垂直,設(shè)其斜率為k,
則直線l的方程為,

這時,圓心到l的距離d=,
所以,
化簡得,
所以直線l的方程為,
綜上,所求的直線l的方程為
點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,解題時要認真審題,仔細解答.
練習(xí)冊系列答案
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曲線C上任意一點到E(-4,0),F(xiàn)(4,0)的距離的和為12,C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點,點P在C上,且位于x軸上方,
PA
PF
=0

(1)求曲線C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為3
15
,求直線l的方程.

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PA
PF
=0.

(1)求曲線C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為3
15
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(1)求曲線C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為,求直線l的方程.

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(1)求曲線C的方程;
(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為,求直線l的方程.

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(2)求點P的坐標;
(3)求曲線C的中心為圓心,AB為直徑作圓O,過點P的直線l截圓O的弦MN長為,求直線l的方程.

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