Question

曲線C上任意一點到E（-4，0），F(xiàn)（4，0）的距離的和為12，C與x軸的負半軸、正半軸依次交于A、B兩點，點P在C上，且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0．
（1）求曲線C的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）求曲線C的中心為圓心，AB為直徑作圓O，過點P的直線l截圓O的弦MN長為3

15

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，b=

62-42

=

20

，由此可知所求的橢圓方程．
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設點P的坐標為（x，y），則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

則2x2+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，由此可推導出點P的坐標為(

3

2

，

5 3

2

)；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，直線l的方程為x=

3

2

，圓心到l的距離d=

3

2

，所以AB=2

r 2-d2

=2

62-( 3 2 )2

=2×

3

2

15

，由此可推導出所求的直線l的方程．

解答：解：（1）設G是曲線C上任意一點，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點的橢圓，且橢圓的長半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸b=

62-42

=

20

，
所以所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設點P的坐標為（x，y）
則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)
由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0.

則2x2+9x-18=0，解之得x=

3

2

，或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，
所以點P的坐標為(

3

2

，

5 3

2

)；
（3）圓O的圓心為（0，0），半徑為6，其方程為x²+y²=36，
若過P的直線l與x軸垂直，則直線l的方程為x=

3

2

，
這時，圓心到l的距離d=

3

2

，
所以AB=2

r 2-d2

=2

62-( 3 2 )2

=2×

3

2

15

，
符合題意；
若過P的直線l不與x軸垂直，設其斜率為k，
則直線l的方程為y-

5 3

2

=k(x-

3

2

)，
即2kx-2y+5

3

-3k=0
這時，圓心到l的距離d=

|5 3 -3k|

4k2+4

，
所以MN2=4(r2-d2)=4[62-(

|5 3 -3k|

4k2+4

)2]=(3

15

)2，
化簡得，10

3

k-22=0，所以k=

11

5 3

，=

11 3

15

所以直線l的方程為11

3

x-15y+21

3

=0，
綜上，所求的直線l的方程為x=

3

2

，或11

3

x-15y+12

3

=0．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．