Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=PB=BC．
（Ⅰ）若E是PC的中點(diǎn)，證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅱ）試在線段PC上確定一點(diǎn)E，使二面角P-AB-E的大小為

π

3

，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直．
（Ⅱ）利用二面角的定義，確定E的位置．

解答：解：（1）證明：因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，
又AB⊥AD，AC⊥CD，所以AB⊥面PAD，CD⊥面PAC …（4分）
所以AB⊥PD，CD⊥AE
又△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，所以AC=AB=BC=PA，
又E是PC中點(diǎn)，所以AE⊥PC，所以AE⊥面PCD，所以AE⊥PD，所以PD⊥面ABE，…（7分）
（2）過E作EG∥PA，交AC于G，過G作GH⊥AB，垂足為H，則由PA⊥底面ABCD知，
EG⊥面ABCD，所以∠EHG是二面角P-AB-E的平面角的余角，即∠EHG=

π

6

．
設(shè)AC=AB=BC=PA=2，PE=λPC，則EG=2-2λ，GH=

3

λ，
因為tan∠EHG=

3

3

所以

EG

GH

=

2-2λ

3 λ

=

3

3

，所以λ=

2

3

．
即點(diǎn)E在線段PC距點(diǎn)P位置為

2

3

PC處

點(diǎn)評：本題主要考查線面垂直的判定依據(jù)二面角大小的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題的能力．