【題目】已知函數(shù).
()當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程.
()求的單調(diào)區(qū)間.
()求證:當(dāng)時,函數(shù)存在最小值.
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)分別求得和,由點斜式可得直線方程;
(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,由導(dǎo)函數(shù)的正負求單調(diào)區(qū)間即可;
(3)結(jié)合(2)得到函數(shù)f(x)在x∈[-a,+∞)上f(x)≥f(-2),而x∈(-∞,-a)時,f(x)=ex[x(x+a)+a]>0,從而求出f(x)的最小值是f(-2);法二:根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值是f(-2)即可.
試題解析:
()當(dāng)時, , ,
∴, ,
∴曲線在點處的切線方程為: ,
即.
()由得,
令,解得: 或,
①當(dāng),即時, , 在上單調(diào)遞增;
②當(dāng),即時,令,得或;
令,得,
∴的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是;
③當(dāng),即時,令,
得或;
令,得,
∴的單調(diào)增區(qū)間是和,
單調(diào)減區(qū)間是.
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在上遞增;
當(dāng)時, 的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是;
當(dāng)時, 的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是.
()由()得:當(dāng)時,函數(shù)在上有,
且,
∵,
∴時, , , ,
∴時,函數(shù)存在最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地一年的氣溫Q(t)(單位:℃)與時間t(月份)之間的關(guān)系如圖所示,已知該年的平均氣溫為10 ℃,令C(t)表示時間段[0,t]的平均氣溫,下列四個函數(shù)圖象中,最能表示C(t)與t之間的函數(shù)關(guān)系的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在拋物線上,圓過原點且與拋物線的準(zhǔn)線相切.
(1)求該拋物線的方程;
(2)過拋物線焦點的直線交拋物線于, 兩點,分別在點, 處作拋物線的兩條切線交于點,求三角形面積的最小值及此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) (k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)k≤0時,求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f (x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)二次函數(shù),其中常數(shù).
(1)求在區(qū)間上的最小值(用表示);
(2)解不等式;
(3)若對任意恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:的離心率為,右準(zhǔn)線方程為.
求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
已知斜率存在且不為0的直線l與橢圓C交于A,B兩點,且點A在第三象限內(nèi)為橢圓C的上頂點,記直線MA,MB的斜率分別為,.
若直線l經(jīng)過原點,且,求點A的坐標(biāo);
若直線l過點,試探究是否為定值?若是,請求出定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一、高二年級的全體學(xué)生都參加了體質(zhì)健康測試,測試成績滿分為100分,規(guī)定測試成績在之間為“體質(zhì)優(yōu)秀”,在之間為“體質(zhì)良好”,在之間為“體質(zhì)合格”,在之間為“體質(zhì)不合格”現(xiàn)從兩個年級中各隨機抽取8名學(xué)生,測試成績?nèi)缦拢?/span>
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
高一年級 | 60 | 85 | 55 | 80 | 65 | 90 | 90 | 75 |
高二年級 | 75 | 85 | 65 | 90 | 75 | 60 | a | b |
其中a,b是正整數(shù).
(1)若該校高一年級有200名學(xué)生,試估計高一年級“體質(zhì)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù);
(2)從高一年級抽取的學(xué)生中再隨機選取3人,求這3人中,恰有1人“體質(zhì)良好”的概率;
(3)設(shè)兩個年級被抽取學(xué)生的測試成績的平均數(shù)相等,當(dāng)高二年被抽取學(xué)生的測試成績的方差最小時,寫出a,b的值結(jié)論不要求證明
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性;
(2)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
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