Question

已知圓O：x²+y²=4與直線l：y=x+b，在x軸上有點P（3，0），
（1）當實數b變化時，討論圓O上到直線l的距離為2的點的個數；
（2）若圓O與直線l交于不同的兩點A，B，且

PA

•

PB

=9，求b的值．

Answer 1

分析：（I）根據題意，題中的圓以原點為圓心、半徑r=2，由點到直線的距離公式算出原點到l的距離d=

2

2

|b|．由圓的性質可得：當d=4時圓上存在唯一的滿足條件的點；d＞4時圓上不存在滿足條件的點，d＜4時圓上存在兩個滿足條件的點．由此建立關于b的不等式，解出相應的b的范圍，可得答案．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

PA

•

PB

=9利用向量數量積的公式，算出x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
將直線l方程與圓O方程聯(lián)解得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理算出x₁+x₂與x₁x₂關于b的式子，從而得到y(tǒng)₁y₂關于b的式子，代入前面的等式得到關于b的方程，解之即可得到實數b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵圓O：x²+y²=4的圓心為O（0，0）、半徑r=2，
直線l：y=x+b即x-y+b=0，
∴圓心到直線l的距離為d=

|0-0-b|

2

=

2

2

|b|，可得
①當圓心到直線l的距離大于4時，圓上距離直線l距離最近的點到l的距離大于2，
此時圓O上不存在到直線l的距離為2的點，此時d=

2

2

|b|＞4，解得|b|＞4

2

；
②當圓心到直線l的距離等于4時，圓上距離直線l距離最近的點到l的距離等于2，此時圓O上存在唯一的點到直線l的距離為2，此時d=

2

2

|b|=4，解得|b|=4

2

；
③當圓心到直線l的距離小4時，圓上距離直線l距離最近的點到l的距離小于2，
此時圓O上存在兩個點到直線l的距離為2，此時d=

2

2

|b|＜4，解之得|b|＜4

2

．
綜上所述，當b＜-4

2

或b＞4

2

時，圓上存在0個點到直線l的距離等于2；當b=±4

2

時，
圓上存在1個點到直線l的距離等于2；當-4

2

＜b＜4

2

時，圓上存在2個點到直線l的距離等于2．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得

PA

=（x₁-3，y₁），

PB

=（x₂-3，y₂）
∵

PA

•

PB

=9，∴（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=9，化簡得x₁x₂-3（x₁+x₂）+y₁y₂=0．
由

y=x+b x2+y2=4

聯(lián)解可得2x²+2bx+b²-4=0，則

△=32-4b2＞0 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

，即

b2＜8 x1+x2=-b x1•x2= b2 2 -2

∴y1y2=(x1+b)(x2+b)=

b2

2

-2，
化簡得b²+3b-4=0，即（b+4）（b-1）=0，解之得b=-4或b=1，
由于b²＜8，可得b=1．

點評：本題著重考查了向量的數量積公式、點到直線的距離公式、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．