Question

已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知?jiǎng)又本�y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
①若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率k的值；
②已知點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

（1）解：因?yàn)?IMG style="WIDTH: 149px; HEIGHT: 45px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120915/201209151957287483573.png">滿足a²=b²+c²，，
根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，
可得．
從而可解得，
所以橢圓方程為
（2）證明：①將y=k（x+1）代入中，
消元得（1+3k²）x²+6k²x+3k²﹣5=0
△=36k⁴﹣4（3k²+1）（3k²﹣5）=48k²+20＞0，
因?yàn)锳B中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得
②由①知，
所以 =
= =
==