Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，只有唯一正數(shù)，對(duì)任意正數(shù)，使不等式恒成立？若存在，求出這樣的；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在實(shí)數(shù)，只有唯一值，符合題意.

【解析】

（1）將在上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最值即可證明.

（2）將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值，找到符合題意的正數(shù)的值.

證明：（1）

令

則，因此是增函數(shù)

故，因此是增函數(shù)

（2）取，可知，

令

由得

①當(dāng)時(shí)，可得在遞減，是遞增

令

因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼龜?shù)，使得

故只能

得

在上遞減，在上遞增

得，此時(shí)只有唯一值

②當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，得，故

當(dāng)時(shí)，滿足的不唯一

當(dāng)時(shí)，滿足的只能，

但時(shí)滿足且

因此時(shí)，值不唯一

故存在實(shí)數(shù)，只有唯一值，

當(dāng)時(shí)恒有