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6.在四面體ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M為AB中點,則CM與平面ABD所成角的正弦值為( �。�
A.22B.33C.32D.63

分析 如圖所示,取BD的中點O,連接OA,OC,利用等腰三角形的性質(zhì)可得OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,可得OA⊥平面BCD,OA⊥OC.建立空間直角坐標(biāo)系.又AB⊥AD,可得DB=2.取平面ABD的法向量n=(1,0,0),CM與平面ABD所成角的正弦值=|nMC||n||MC|

解答 解:如圖所示,取BD的中點O,連接OA,OC,
∵AB=AD=BC=CD=1,∴OA⊥BD,OC⊥BD.
又平面ABD⊥平面BCD,∴OA⊥平面BCD,OA⊥OC.
建立空間直角坐標(biāo)系.又AB⊥AD,∴DB=2
∴O(0,0,0),A(0,0,22),B(0,22,0),M(0,24,24),C(22,0,0).
MC=(-22,24,24).
取平面ABD的法向量n=(1,0,0),
∴CM與平面ABD所成角的正弦值=|nMC||n||MC|=2232=63
故選:D.

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、向量夾角公式、等腰三角形的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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20.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2acosB=2c-b.
(1)求角A的大��;
(2)若c=2b,求角B的大小.

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17.已知矩陣M=[1c2]有特征值λ1=4及對應(yīng)的一個特征向量e1=[23],則直線2x-y+3=0在矩陣M對應(yīng)的變換作用下的直線方程是7x-5y-12=0.

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14.如圖,∠C=\frac{π}{2},AC=BC,M,N分別是BC、AB的中點,沿直線MN將△BMN折起使點B到達(dá)B′,且∠B′MB=\frac{π}{3},則B′A與平面ABC所成角的正切值為(  )
A.\frac{\sqrt{2}}{5}B.\frac{\sqrt{3}}{5}C.\frac{4}{5}D.\frac{3}{5}

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1.若函數(shù)f(x)=2sin(\frac{π}{3}+\frac{π}{6})(-\frac{1}{2}<x<\frac{11}{2})的圖象與x軸交于點A,過A的直線l與函數(shù)f(x)的圖象交于B,C兩點,則(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=(  )
A.25B.-\frac{25}{2}C.\frac{25}{2}D.-25

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11.某種證件的獲取規(guī)則是:參加科目A和科目B的考試,每個科目考試的成績分為合格與不合格,每個科目最多只有2次考試機(jī)會,且參加科目A考試的成績?yōu)楹细窈螅拍軈⒓涌颇緽的考試;參加某科目考試的成績?yōu)楹细窈�,不再參加該科目的考試,參加兩個科目考試的成績均為合格才能獲得該證件.現(xiàn)有一人想獲取該證件,已知此人每次參加科目A考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?\frac{2}{3},每次參加科目B考試的成績?yōu)楹细竦母怕适?\frac{1}{2},且各次考試的成績?yōu)楹细衽c不合格均互不影響.假設(shè)此人不放棄按規(guī)則所給的所有考試機(jī)會,記他參加考試的次數(shù)為X.
(Ⅰ)求X的所有可能取的值;
(Ⅱ)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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18.盒中共有9個球,其中有3個紅球、4個黃球和2個白球,這些球除顏色外完全相同.
(Ⅰ)從盒中一次隨機(jī)取出2個球,求取出的2個球顏色相同的概率P;
(Ⅱ)從盒中一次隨機(jī)取出4個球,設(shè)X為取出的4個球中紅色的個數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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15.已知極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸為正半軸,曲線C1的直角坐標(biāo)方程為\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1,直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=\frac{1}{1-cosθ}
(Ⅰ)在曲線C1上求一點P,使得點P到直線l的距離最大;
(Ⅱ)過極點O作互相垂直的兩條直線分別交曲線C2于A,B和C,D四點,求|AB|+|CD|的最小值.

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16.從5名男生和4名女生中選出4人參加辯論比賽,如果4人中男生和女生各兩人,則不同的選法種數(shù)為60.

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