Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x2+1

．
（1）求f（x）的極大值和極小值，并畫出函數(shù)f（x）的草圖
（2）根據(jù)函數(shù)圖象，如果方程f（x）-m=0（m∈R）有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：高考數(shù)學(xué)專題

分析：（1）由已知得f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極大值和極小值，并畫出函數(shù)f（x）的草圖．
（2）由（1）并根據(jù)函數(shù)圖象，能求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

x2+1

，
∴f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

，
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的減區(qū)間為（-∞，-1），
（1，+∞），增區(qū)間為（-1，1），
∴f（x）_極大值=f（1）=

1

2

，
f（x）_極小值=f（-1）=-

1

2

．
畫出函數(shù)f（x）的草圖如右圖所示．
（2）由（1）并根據(jù)函數(shù)圖象，知：
∵方程f（x）-m=0（m∈R）有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴-

1

2

＜m＜0或0＜m＜

1

2

．
∴m的取值范圍是（-

1

2

，0）∪（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．